le pentagone

OBJECTIFS :

– Notions de cercle, centre, rayon, diamètre
– Positions relatives de deux cercles
– Polygone inscrit dans un cercle, polygone régulier, polygone croisé
– Construction du pentagone régulier.

NIVEAU : collège.

EXPLORATION

– Distribution et orientation de la planche.
– Premier repérage visuel : figures circulaires et figures polygonales.

EXPÉRIMENTATION 1 : les cercles

– Repérer visuellement et distinguer par coloriage le contour des quatre cercles qui sont présents sur la planche.

– Nommer ces cercles, du plus petit au plus grand : (C1), (C2), (C3), (C4).

– Trouver leur centre par estimation visuelle puis vérification à l’aide du compas (ou par pliage). Marquer les centres : points O1, O2, O3, O4.

– Décrire les positions relatives de ces quatre cercles les uns avec les autres.

EXPLICITATION

– Notions de cercle, rayon, diamètre.

– Notion de cercles concentriques, cercles sécants, cercles tangents.
Sur la planche, les points O2 et O4 sont confondus : on dit que les cercles (C2) et (C4) sont des cercles concentriques. Les cercles (C2) et (C3) sont sécants. Les cercles (C1) et (C2) sont tangents extérieurement, les cercles (C4) et (C1) sont tangents intérieurement.

EXPLOITATION

– Sur une feuille blanche, construire deux cercles sécants, deux cercles tangents extérieurement, deux cercles tangents intérieurement, deux cercles concentriques.

– À main levée, sur une feuille blanche, reproduire les dispositions relatives des quatre cercles de la planche ’pentagone’. Établir au préalable un programme de construction [par exemple : C3 puis C1 puis C2 puis C4].

EXPÉRIMENTATION 2 : polygones inscrits

– Abstraire et décrire les figures géométriques qui sont dessinées à l’intérieur des cercles C2, C3 et C4.
[le cercle (C2) contient un carré, le cercle (C4) contient un triangle équilatéral ainsi qu’un hexagone, le cercle (C3) contient un pentagone]

EXPLICITATION

– Notion de polygone inscrit. Notion de polygone régulier, ici à trois, quatre, cinq, six côtés.

– Propriétés des diagonales du carré, décomposition de l’hexagone régulier en six triangles équilatéraux .

– Méthode de construction du carré, du triangle équilatéral et de l’hexagone à partir d’un cercle.

EXPLOITATION

– Sur une feuille blanche, construire un hexagone régulier, un triangle équilatéral, un carré, à partir de cercles.

– Tracer le carré inscrit dans le cercle (C4).

EXTENSION

– À partir de l’hexagone et du carré : le dodécagone (12 côtés) et l’octogone (8 côtés) réguliers.

– Construction du rectangle et du triangle rectangle à partir d’un cercle.

EXPÉRIMENTATION 3 : une construction

Suivre pas à pas le programme de construction suivant :

–  Sur une feuille blanche, tracer un cercle (C3) de centre O3 et de rayon 6 cm. O3 doit être placé aux 2/3 supérieurs de la feuille.
–  Tracer le diamètre horizontal de ce cercle, nommé UV (U à gauche, V à droite) puis le diamètre vertical, nommé AP (A en haut, P en bas). AP doit être perpendiculaire à UV.
–  Placer le point O1, milieu du rayon O3 V. Tracer le cercle (C1) de centre O1 et de diamètre O3 V. Les cercles (C3) et (C1) doivent avoir un seul point commun V, ils sont tangents.
–  Tracer le cercle (C2) de centre P, tangent au cercle (C1). Ils ont un seul point commun, le point X, qui est sur le segment P O1.
–  Le cercle (C2) coupe le cercle (C3) en deux points : D et C (D à gauche, C à droite).
–  Prolonger P O1, placer le point P’ de façon à ce que X P’ soit le diamètre de (C1).
–  Tracer le cercle (C4) de centre P, qui passe par le point P’. P P’ doit être le rayon de (C4), les cercles (C1) et (C4) sont tangents intérieurement.
–  Le cercle (C4) coupe le cercle (C3) en deux points : E et B (E à gauche, B à droite).
–  Sur le cercle (C3) on trouve maintenant les cinq sommets d’un polygone ABCDE. Joindre les points A et B puis B et C, C et D, D et E, enfin E et A. Caractériser ce polygone [pentagone régulier].

EXPLICITATION

Le pentagone régulier et sa construction. Elle peut se faire à partir de quatre cercles disposés comme le sont ceux de la planche ’pentagone’.

EXPLOITATION

– Reproduire au compas, sur feuille blanche, les quatre cercles de la planche ’pentagone’ puis finir la construction du pentagone inscrit dans le cercle (C3).

– Tracer les diagonales du pentagone ABCDE : on obtient un pentagone croisé.
Remarquer la présence d’un pentagone régulier au centre du pentagone croisé, pentagone plus petit que ABCDE et en position inversée.

EXTENSION

– Diagonales et figures croisées.

– Nombre d’or et pentagone.

– Points symétriques et segments égaux dans les polygones réguliers.